Deret Geometri Tak Hingga

Deret Geometri Tak Hingga
Misalkan selembar kertas berbentuk segiempat dibagi menjadi 2 dan salah satu bagiannya dibagi lagi menjadi 2 bagian. Bagian ini dibagi lagi menjadi 2 dan begitu seterusnya seperti gambar berikut ini:
1

Secara teoritis pembagian ini dapat dilakukan berulang kali sampai tak hingga kali. Pada pembagian pertama diperoleh setengah bagian, yang kedua seperempat bagian, yang ketiga seperdelapan bagian dan seterusnya sampai tak hingga kali. Tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagian sampai tak hingga kali tetap = kertas semula (1 bagian). Hasil ini dapat dituliskan:
21

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya (n) tak hingga. Kita telah mengetahui bahwa untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus:
31

Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk n → ∞ sebagai berikut:
41

1. Untuk r > 1 atau r 1 atau r 1 dan n → ∞ maka rn→ ∞
Untuk r < -1 dan n → ∞ maka rn→ -∞.
Sehingga diperoleh
51

Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 disebut deret divergen (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecendrungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu deret ini tidah memilik limit jumlah

2. Untuk -1 n akan semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini untuk n → ∞ maka rn→ 0. Sehingga diperoleh
61

Deret geometri tak hingga dengan -1

Posted in Deret Geometri Tak hingga | Leave a comment

Latihan Soal Barisan dan Deret Geometri

1. Suatu deret geometri mempunyai U1 = 3 dan U5 = 48. Suku ke-7 dari deret geometri tersebut sama dengan

2. Suatu deret geometri memiliki suku pertama sama dengan 4. Jumlah dua suku pertama sam dengan 12. Jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut adalah..

3. Diketahui sebuah barisan geometri -192, 96, -48, 24, … . Tentukan nilai suku ke delapan dari barisan tersebut?

4. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

5. Diketahui sebuah barisan geometri 4p, 2q, r, … . Maka nilai dari q² – pr adalah…

6. Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c, …. Jika diketahui a x b x c = 1728 dan a + b + c = 36, maka nilai a, b dan c adalah…

Posted in Latihan Soal Barisan dan Deret Geometri | Leave a comment

Latihan Soal Barisan dan Deret Aritmatika

1. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ….

2. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah ….

3. Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….

4. Iuran warga setiap bulan selalu naik Rp 5.000,00 dari bulan sebelumnya. Jika iuran warga pada bulan pertama Rp 10.000,00, maka jumlah total iuran warga tersebut setelah 8 bulan adalah …

5. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 anaknya menurut deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh, jika anak pertama mendapat 5 permen dan anak kelima mendapat 21 permen, maka jumlah permen seluruhnya sebelum dibagi adalah …

6. Seorang mandor diberi THR sebesar Rp 1.600.00,00 per tahun dan tiap tahun ditambah Rp. 80.000,00. Tentukan total pendapatan THR dalam jangka waktu 4 tahun!

7. Pada tanggal 1 April 2012 seorang sales mampu menjual barang sebanyak 50 unit. Jika tiap hari berikutnya sales tersebut mampu menaikkan omzet penjualan sebesar 3 unit, hitunglah jumlah barang yang terjual sampai tanggal 5 April 2012.

Posted in Latihan Soal Barisan dan Deret Aritmatika, Uncategorized | Leave a comment

TOKOH PENEMU RUMUS BARISAN dan DERET

Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175 – 1250), dikenal juga sebagai Fibonacci, adalah seorang matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa (algorisma). Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret.
Bapak dari Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai nama alias Bonacci (‘bersifat baik’ atau ‘sederhana’). Leonardo, setelah meninggal, sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). William memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah perwakilan dagang untuk Pisa) di Bugia, Afrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair), dan sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke sana untuk menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang sistem bilangan Arab.
Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya. (Contohnya, peta dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di Ulm.)
Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Tahun 1240 Republik Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo, dengan memberikannya gaji.

Posted in Sejarah Barisan dan Deret | Leave a comment

Cerita Singkat Bilangan yang Hilang

Bilangan genap 1 – 20 ketika itu sedang berkumpul, tiba- tiba ketua bilangan riil meminta untuk bilangan genap berbaris. Para bilangan genappun segera berbaris. Saat itun sang ketua bilangan riil menghitung jumlah bilangan genap yang berbaris.

Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang.

Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2 mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir.

Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar. Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18.

Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil.
Bilangan genap 1 – 20 ketika itu sedang berkumpul, tiba- tiba ketua bilangan riil meminta untuk bilangan genap berbaris. Para bilangan genappun segera berbaris. Saat itun sang ketua bilangan riil menghitung jumlah bilangan genap yang berbaris.

Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang.

Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2 mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir.

Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar. Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18.

Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil.

By : Putri Kinanti A

Posted in Cerita Matematika | Leave a comment

PERMAINAN MATEMATIKA : Menebak Tanggal Lahir Orang Lain

Ini adalaah sebuah permainan matematika yang sederhana tapi cukup menarik, karena dengan permainan anda bisamenetahui tanggal lahir teman orang lain melalui perhitunagn anak-anak. Ya, anda cukup ajak teman anda yang anda ingin ketahui tanggal lahirnya untuk bermain angka bersama anda, lalu anda dapat mengetahui tanggal lahirnya, mudah bukan?

Picture
Begini, misalnya anda memilki seorang yang sedang ditaksir lalu anda tidak menetahui hari ulang tahunnya, maka anda dapat menggunakan permainan ini untuk mengetahui hari ulang tahunnya.

Begini cara pertamanya:

Ada tiga option yang hrus dipilih salah satu pada langkah pertama ini :

1. Apabila teman anda (yang anda ingin ketahui tanggal lahirnya) cukup pandai dalam menghitung, maka suruh dia memegang kertas/buku beserta pulpen (untuk coret-coretan menghitung tentunya).

2. Apabila teman anda (yang anda ingin ketahui tanggal lahirnya) tidak cukup pandai dalam berrhitung , maka suruhlah dia memegang kalkulator (untuk digunakan menghitung nanti tentunya)

3. Apabila teman anda (yang anda ingin ketahui tanggal lahirnya) tidak bisa berhitung sama sekali dan tidak bisa menggunakan kalkulator,mending jangan diteruskan permainan ini,soalnya nanti sis-sia saja (ya iya lah).

Kemudian suruh teman anda untuk melakukan perhitungan ini:

A. Mengalikan tanggal lahirnya dengan 5 (tanggal lahir dia X5).

B. Hasil perhitunagn pada langkah A tambahkan dengan 6 (hasil A+6)

C. Hasil perhitunagn pada langkah B kalikan dengan 4 (hasil B×4).

D. Hasil perhitunagn pada langkah C tambahkan dengan 9 (hasil C+9).

E. Hasil perhitunagn pada langkah D kalikan dengan 5 (hasil D×5).

F. Hasil perhitunagn pada langkah E tambahkan denagn bulan kelahirannya.

(NB: Januari = 1, Februari = 2, dst)

Setelah langkah A sampai dengan F selesai, mintalah teman anda untuk memberitahukan hasil perhitunganny kepada anda, lalu anda kurang hasil yang diberitahukan teman anda itu dengan angka kunci ,yaitu 165 (hhasil perhitungan – 165 ) nah lalu anda sekarang sudah mengetahui tanggal lahir teman anda.

Contoh:

Hasil perhitunagn tanggal lahir saya melalui langkah A sampai dengan F adalah 1767. Hasil itu dikurungi 165, jadi 1767-165=1620. Yap 1602 itu menunjukan tanggal lahir saya, yaitu tanggal 16 bulan 2.

Sekang anda dapat mencobanya sendiri dan buat kagum teman anda . SELAMAT MENCOBA!

Cr: Majalah Mardika

Posted in Permainan Matematika | Leave a comment

Sifat – Sifat Deret Geometri

Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.




.
.
.

Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.

Sifat – sifat dasar deret geometri
1.Bila merupakan deret geometri, maka :

2.Bila merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:

Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri.
Perhatikan Un = arn-1
Dengan formula itu didapat:


Memo
Lihat Indeks
10 = 1 + 9
10 = 3 + 7
10 = 5 + 5
Secara umum di tuliskan:

Posted in Sifat -Sifat Deret Geometri | Leave a comment